2021年1月2日 星期六

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數學上,一个数

    x


{\displaystyle x}

的倒数(reciprocal),或稱乘法逆元(multiplicative inverse),是指一個与

    x


{\displaystyle x}

相乘的积为1的数,记为

          1
          x





{\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}

      x

        −
        1




{\displaystyle x^{-1}}

。在抽象代数中,倒数所对应的抽象化概念是乘法群的某个元素的“乘法逆”,也就是相对于群中“乘法”运算的逆元素。注意这个名词只当相应的群中的运算被称为“乘法”后才使用。如果群中的运算被称为“加法”,那么同样的概念称为“加法逆”。乘法逆的具体定义可以参见群的逆元素概念。
汉语中,名词倒数一般用来表示数字的乘法逆,一般在各种数域如:有理数、实数、复数,以及模n的同余类所构成的乘法群中使用。在复数域(实数域)中,每个除了0以外的复数(实数)都存在倒数:只要用某个数自身除1(也就是说用1除以某个数),即可得到它的倒数。用数学记号表示的话:

一个非零的复数(实数)

    a


{\displaystyle a}

的倒数定义为使得

    a
    ×
    b
    =
    b
    ×
    a
    =
    1


{\displaystyle a\times b=b\times a=1}

成立的复数(实数)

    b


{\displaystyle b}

,记作

    b
    =


        1
        a


    =

      a

        −
        1




{\displaystyle b={\frac {1}{a}}=a^{-1}}

例如,

        3
        8




{\displaystyle {\frac {3}{8}}}

的倒数是

        8
        3




{\displaystyle {\frac {8}{3}}}

,因为

        3
        8


    ×


        8
        3


    =
    1


{\displaystyle {\frac {3}{8}}\times {\frac {8}{3}}=1}

每个复数(实数)只有一个倒数。一般来说,并不是对所有的代数结构中的乘法运算,每个元素都存在其乘法逆,如对矩阵乘法来说,秩小于阶数的矩阵就没有乘法逆,或者在环

      Z

        39




{\displaystyle Z_{39}}

中,元素3和18也沒有乘法逆。一个环中的一个元素有乘法逆当且仅当它是可逆元,而它的乘法逆是唯一的当且仅当它不是一个零因子,或者说当它是一个正则元。每个非零元素都有乘法逆的环称为除环。每个非零元素都至多有一个乘法逆的环称为无零因子环。
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