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2020年6月12日星期五

杨辉三角形，又称帕斯卡三角形、賈憲三角形、海亚姆三角形、巴斯卡三角形，是二项式係數的一种写法，形似三角形，在中国首现于南宋杨辉的《詳解九章算法》得名，书中杨辉说明是引自贾宪的《释锁算书》，故又名贾宪三角形。前 9 行写出来如下：

１
　　　　　　　１　１
　　　　　　１　２　１
　　　　　１　３　３　１
　　　　１　４　６　４　１
　　　１　５　10　10　５　１
　　１　６　15　20　15　６　１
　１　７　21　35　35　21　７　１
１　８　28　56　70　56　28　８　１

杨辉三角形第

    n


{\displaystyle n}

层（顶层称第 0 层，第 1 行，第

    n


{\displaystyle n}

层即第

    n
    +
    1


{\displaystyle n+1}

行，此处

    n


{\displaystyle n}

为包含 0 在内的自然数）正好对应于二项式

        (

          a
          +
          b

        )


        n




{\displaystyle \left(a+b\right)^{n}}

展开的系数。例如第二层 1 2 1 是幂指数为 2 的二项式

        (

          a
          +
          b

        )


        2




{\displaystyle \left(a+b\right)^{2}}

展开形式

      a

        2


    +
    2
    a
    b
    +

      b

        2




{\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}}